Опционная стратегия, позволяющая хеджировать риски, связанные с изменением стоимости базового актива, путем открытия компенсирующих позиций.

Например, дельта-хеджирование позиции колл в лонг может осуществляться путем продажи в шорт базовой акции. Данная стратегия основана на изменении суммы премии (цены опциона) вследствие изменения цены базового актива.

Дельта показывает, насколько теоретически должна измениться премия при изменении цены базового актива на один базисный пункт. Соотношение между этими движениями называется коэффициентом хеджирования. Если дельта = — 0.50, то можно ожидать, что при снижении цены базового актива на один доллар цена опциона пут вырастет на 50 центов. То же самое верно и для движения в противоположном направлении. Дельта опциона колл находится в пределах от 0 до 1, а дельта опциона пут — в пределах от минус 1 до 0. Например, цена опциона колл с коэффициентом хеджирования 0.40 увеличится на 40% от величины роста цены базовой акции.

В общем случае, опционы с высокими коэффициентами хеджирования выгоднее покупать, чем продавать.

Дельта-хеджирование с помощью опционов

Опционную позицию можно хеджировать с помощью опционов с дельтой, противоположной дельте текущей опционной позиции, чтобы получить дельта-нейтральную позицию. Дельта-нейтральной называется позиция, в которой суммарная дельта равна нулю, что сводит к минимуму колебания цен опционов относительно базового актива. Например, если у инвестора есть один опцион колл с дельтой, равной 0.50 (что говорит о том, что это опцион «при своих» (at-the-money)), и он хочет сохранить свою позицию дельта-нейтральной, то он может купить опцион пут «при своих» с дельтой, равной — 0.50, чтобы компенсировать положительную дельту. В результате, суммарная дельта позиции будет равна нулю.

Дельта-хеджирование с помощью акций

Дельта-хеджирование опционной позиции также можно производить с помощью самой базовой акции. Каждая базовая акция имеет дельту, равную 1, потому что изменение цены базового актива на $1 это и есть изменение цены акции на $1. Допустим, у инвестора есть один опцион колл в лонг на акцию, дельта которого равна 0.75 (или 75, так как для опционов множитель составляет 100). Такой инвестор может провести дельта-хеджирование опциона колл путем продажи в шорт 75 акций базового актива. И наоборот, если у инвестора есть один опцион пут в лонг на акцию, дельта которого равна −0.75, или −75, сделать позицию дельта-нейтральной можно, купив 75 акций базового актива.

Преимущества и недостатки дельта-хеджирования

Одним из главных недостатков дельта-хеджирования является необходимость постоянно следить за своими позициями и корректировать их. В зависимости от движения акции, трейдеру приходится часто покупать и продавать ценные бумаги, чтобы избежать недостаточного или чрезмерного хеджирования. Это может обходиться достаточно дорого, особенно в случае хеджирования опционами, поскольку они могут терять временную стоимость и иногда торговаться ниже уровня базовой акции. К тому же не надо забывать, что к сделкам, совершаемым с целью корректировки позиций, применяются комиссии. Дельта-хеджирование полезно применять инвесторам, которые хотят поймать сильное движение, так как оно защищает от мелких колебаний цены.

Читавшие книгу Коннолли «Покупка и продажа волатильности» знают, что такое дельта-нейтральное хеджирование отдельного опциона или опционной позиции. При этом способе торговли купленный или проданный опцион хеджируется базовым активом таким образом, чтобы дельта совокупной позиции всегда равнялась нулю. Однако на практике многие трейдеры хеджируют свои опционы не по дельте, а через фиксированные промежутки цены базового актива. Наконец, многие не хеджируют и продают либо покупают «голые» опционы. В статье сравниваются эти стратегии.

Случайное моделирование

Специально для решения представленной задачи с помощью пакета Excel был создан файл, в котором происходит моделирование случайного движения цены некоей акции в течение 10 дней. Для простоты ее текущая цена установлена на уровне $100. Пользователь вводит годовую волатильность акции и ее ожидаемую годовую доходность, а программа на основе этой информации строит случайный минутный ценовой ряд длиной 10 дней. Предполагается, что акция торгуется круглосуточно. Таким образом, длина создаваемого минутного ценового ряда составляет 14.400 значений. Для наглядности в программе отображается график движения цены. Для простоты будем считать, что мы продаем 100 опционов колл (то есть один полный лот), истекающих через 10 дней, и в течение 10 дней хеджируем опционы путем покупки и продажи акций. Способ хеджирования определяется пользователем в программе – это либо хеджирование по дельте, либо через фиксированный ценовой интервал, либо отсутствие хеджирования вообще. После запуска программы создается случайный ценовой ряд и ведутся операции по хеджированию проданного опциона в соответствии с введенными правилами. Автоматически рассчитывается финансовый результат проведенных операций, который вносится в специальную таблицу. Затем создается еще один случайный ценовой ряд, опять осуществляются хеджирования и рассчитывается финансовый результат, который также вносится в таблицу. Число таких случайных моделирований возможного поведения цены акции может достигать, скажем, 500. В каждом случае программа осуществляет все необходимые хеджирования и рассчитывает полученную прибыль или убыток. В итоге мы получаем таблицу, содержащую результаты каждого отдельного эксперимента. На этой основе автоматически рассчитываются обобщающие показатели – средняя величина финансового результата и его стандартное отклонение (речь об этом пойдет чуть ниже).

В основе случайного моделирования лежит предпосылка, на которой основана самая распространенная модель оценки опционов – Блэка-Шоулза – и очень многие другие модели в области инвестиций. Предпосылка состоит в том, что цена акции имеет логарифмически нормальное распределение. Стоит отметить, что это один из самых объективных способов математического моделирования ценового движения.

Анализ результатов

Итак, переходим к самому интересному – анализу результатов разных способов хеджирования.

Тестирование проходило следующим образом. Продавали 100 опционов колл со страйком $105 и подразумеваемой волатильностью 50%, которые либо вообще не хеджировались, либо хеджировались путем покупки акций через фиксированный ценовой интервал, либо по дельте.

В рамках каждого из трех вариантов тестирование проходило при разной волатильности акции, а именно: 30% (волатильность, с которой движется акция, меньше подразумеваемой волатильности опциона), 50% (волатильность акции в точности равна подразумеваемой волатильности опциона) и 70% (волатильность акции превосходит подразумеваемую волатильность опциона).

Таким образом, всего провели 9 тестов, в рамках каждого из них делалось 500 симуляций случайного движения акции. Отметим, что во всех случаях ожидаемая доходность цены была установлена на уровне 0%, что подразумевает наличие бокового тренда – а именно в этих условиях трейдеры стремятся продавать опционы.

Отсутствие хеджирования

Для начала рассмотрим первую серию тестов, когда проданный опцион не хеджировался вообще, то есть никаких операций с базовым активом не проводилось. Результаты тестирования приведены в таблице 1. Из нее ясно видно, что, когда волатильность акции была равна 50%, то есть в точности совпадала с подразумеваемой волатильностью проданного опциона, в среднем получался убыток в размере $11.05, что очень близко к нулю. При волатильности акции, равной 30%, средняя прибыль составила $98.58; при волатильности 70% образовался средний убыток в размере $110.45. Величину стандартного отклонения прибыли/убытка мы пока рассматривать не будем, но эта информация пригодится нам в дальнейшем.

Таким образом, можно сделать вывод, что, если акция будет двигаться с волатильностью большей, чем подразумеваемая волатильность проданного опциона, в среднем мы получим убыток; если с меньшей – прибыль. Но как точно определить величину этой средней прибыли или среднего убытка? Более конкретно: если волатильность проданного опциона колл равна 50%, а акция движется с волатильностью x%, чему равен ожидаемый финансовый результат позиции?

Это можно рассчитать математически. Надо вычислить по модели Блэка-Шоулза премию опциона колл с волатильностью 50% (соответственно, сроком до истечения 10 дней, страйком $105; цена акции в нашем случае равна $100, а процентную ставку мы принимаем за 0%) и вычесть из нее вычисленную аналогичным образом премию точно такого же опциона, но с волатильностью x%. Ожидаемый финансовый результат будет в точности равен разнице между двумя премиями.

Проверим это на нашем примере. Премия опциона с волатильностью 50% равна $145.43, с волатильностью 30% – $43.81, с волатильностью 70% – $264.84. Согласно описанной выше логике, в случае, когда волатильность акции равна 30%, средняя прибыль должна равняться $145.43 – $43.81 = $101.62; при волатильности 70% убыток должен составить $145.43 – $264.84 = – $119.41.

Видно, что эти цифры очень близки к результатам, полученным в ходе тестирования. Незначительные отклонения объясняются тем, что мы делали всего лишь 500 тестирований. Если сделать не 500, а, скажем, 10 тыс. симуляций, то вычисленные на основе этой выборки цифры будут ближе к результатам, рассчитанным математическим путем.

Через фиксированный ценовой интервал

Рассмотрим теперь, как изменятся наши результаты, если мы будем хеджировать проданный лот опционов базовыми акциями через фиксированный интервал.

Конкретных способов хеджирования через фиксированный ценовой интервал существует много. В нашем случае на уровнях $101, $102, $103, $104 и $105 мы будем покупать по 20 акций. То есть, как только цена достигнет $101, мы купим 20 акций. Если цена поднимется до $102, мы купим еще 20 акций. И так до $105 – это страйк нашего опциона.

К тому моменту будет куплено в общей сложности 100 акций, которые при дальнейшем росте цены будут полностью хеджировать проданный опцион. Если же после роста, например, до $101 цена вернется назад, мы на уровне $100 продадим купленные ранее 20 акций и зафиксируем убыток. К сожалению, любое хеджирование базовым активом подразумевает получение убытка – от этого никуда не деться.

Итак, какие результаты были получены при хеджировании опциона через фиксированный интервал? Из таблицы видно, что при волатильности акции 30% в среднем была получена прибыль в размере $101.56, при волатильности 50% – прибыль $3.79, при 70% -убыток $111.28. Сразу видно, что средние финансовые результаты очень близки к полученным при простой продаже опциона колл без хеджирований.

На самом деле, если бы мощность компьютера и время позволили сделать не 500, а, скажем, 1 млн. тестирований, мы бы обнаружили, что средние финансовые результаты в двух случаях находятся друг к другу еще ближе. Хотя это может показаться странным, но в общем случае продажа опциона колл без совершения операций по его хеджированию и продажа аналогичного опциона с последующим хеджированием имеют тот же самый ожидаемый финансовый результат. Означает ли это, что все старания по хеджированию опциона не имеют никакого смысла? Нет.

Давайте проанализируем второй важный показатель, который мы пока не рассматривали. Это стандартное отклонение финансового результата. Оно служит мерой того, насколько далеко величины отстоят от своего среднего значения. Чем больше стандартное отклонение, тем больше разброс значений вокруг средней величины; чем меньше – тем меньше разброс.

В области инвестиций стандартное отклонение доходности вложения является общепринятой мерой риска. Высокое стандартное отклонение говорит о том, что заранее очень сложно оценить, чему будет равна доходность инвестиции. Если же вложение имеет малое стандартное отклонение доходности, мы можем с гораздо большей точностью заранее предсказать, какую прибыль получит инвестор (она будет расположена недалеко от своего ожидаемого значения).

Итак, вернемся к финансовым результатам. Из таблицы видно, что в первом случае, когда мы продавали опцион колл и не хеджировали его, стандартное отклонение финансового результата оказалось больше, чем во втором случае, когда проданный опцион хеджировали. Так, когда волатильность акции равнялась 30%, стандартное отклонение для случая без хеджирования составило $146.50, а для случая с хеджированием -$100.55.

Легко увидеть, что та же самая закономерность просматривается и в двух других случаях. Здесь можно сделать важнейший вывод о том, что хеджирование опциона приводит к снижению стандартного отклонения прибыли/убытка стратегии. Более того, любое хеджирование преследует именно эту, и только эту цель. Хеджирование не затрагивает величину ожидаемой прибыли, оно лишь снижает риск стратегии (стандартное отклонение).

Хеджирование по дельте

Наконец, рассмотрим, чего мы добьемся, если хеджирование опциона производить по методике, описанной в книге Коннолли “Покупка и продажа волатильности” , а именно – по дельте. При этом способе хеджирования трейдер покупает и продает акции таким образом, чтобы общая дельта позиции всегда была равна нулю. В программе мы производили хеджирование почти непрерывно, покупая и продавая акции каждую минуту. К чему же это привело? Как и следовало ожидать, средние величины финансового результата стратегии получились очень близкими к результатам, полученным в первых двух случаях. Однако стандартное отклонение финансового результата оказалось заметно меньшим, чем в первых двух случаях, и составило от $1 до $3!

На самом деле если бы хеджирование по дельте производилось не каждую минуту, а действительно непрерывно, стандартное отклонение было бы нулевым! Это означает, что вне зависимости от того, по какому пути пошла бы цена акции, стратегия продажи опциона колл с хеджированием по дельте принесла бы тот же самый финансовый результат.

Так, если бы акция двигалась с постоянной волатильностью 30%, мы бы получили прибыль в размере $101.62 – вне зависимости от динамики цены акции. Последнее утверждение может показаться удивительным, но это на самом деле так.

Интересно, что при непрерывном хеджировании опциона по дельте прибыль или убыток зависят только от двух параметров: от подразумеваемой волатильности проданного опциона и от волатильности акции. Продавая опцион, колл с подразумеваемой волатильностью 50% и хеджируя его по дельте, мы, по выражению Коннолли, продаем волатильность, поскольку мы всегда будем получать прибыль, если впоследствии акция будет двигаться с волатильностью меньше 50%, и убыток – при волатильности более 50%.

Мало того, мы заранее можем точно сказать, какую именно прибыль или убыток получим при той или иной волатильности акции. То, по какому именно пути пойдет акция – будет ли она расти, падать или стоять на месте, – нас не интересует. Наш финансовый результат будет определяться исключительно волатильностью.

Поэтому стратегию непрерывного хеджирования опционов по дельте можно с полным правом назвать торговлей волатильностью. Нужно отметить, что во многих источниках этот термин употребляется в более широком смысле для обозначения любой стратегии, рассчитанной на изменение волатильности (например, покупка и продажа стрэдлов), что на самом деле не совсем правильно.

Для расчета дельты требуется знание волатильности. Обычно используется текущая подразумеваемая волатильность опциона. Однако на самом деле требуется использовать истинную волатильность акции. Она может не совпадать с подразумеваемой волатильностью опциона.

Мы продавали опционы колл с подразумеваемой волатильностью 50%. Однако при хеджировании рассчитывали дельту, основанную на волатильности акции 30%, 50% и 70%. Если бы мы использовали дельту, основанную на подразумеваемой волатильности опциона (50%), мы бы не достигли такого результата, и стандартное отклонение прибыли/убытка не равнялось бы $0.

В реальной жизни проблема заключается в том, что оценить истинную волатильность, с которой движется акция в данный момент времени, очень непросто. Историческая волатильность, которая представляет собой среднюю оценку волатильности за некоторый прошлый промежуток времени, служит неточной оценкой текущей волатильности.

Поэтому для расчета дельты трейдеры в большинстве случаев используют подразумеваемую волатильность опциона. Более опытные игроки применяют “эмпирическую дельту”, рассчитанную на основе “эмпирической волатильности” – то есть их собственной оценки волатильности акции. В любом случае надо сказать, что хеджирование по дельте – даже если она рассчитана не совсем точно – приводит к тому, что стандартное отклонение финансового результата стратегии оказывается меньше, чем при альтернативных способах хеджирования. Следовательно, дельта-нейтральное хеджирование является все же самым предпочтительным способом хеджирования опционов, снижающим риск до минимально возможного уровня.

Заключение

Стоит отметить, что при тестировании не учитывалась комиссия за совершение сделок, которая может быть велика, особенно при использовании непрерывного (или близкого к непрерывному) хеджирования по дельте. Понятно, что это отрицательно отразится на конечном результате.

Также следует сказать, что в хо-де тестирований мы предполагали, что ожидаемая доходность акции равна 0%. Эта предпосылка является достаточно естественной, поскольку обычно трейдеры продают опционы именно в условиях бокового тренда. Однако при иной ожидаемой доходности акции положительной в случае бычьего рынка либо отрицательной в случае медвежьего – результаты будут иными. В данной статье этот момент не учитывался.

Наконец, несмотря на то, что в статье рассматривались продажа и хеджирование опциона колл, сделанные выводы справедливы также для покупки опциона колл, поскольку финансовый результат покупателя всегда в точности равен финансовому результату продавца, взятому со знаком минус. Также все выводы справедливы и для опционов пут – как коротких, так и длинных.

Читатель может самостоятельно проверить все изложенные в данной статье выводы, а также протестировать любые иные способы хеджирования с помощью программы на компакт-диске журнала, описание которой можно также найти на диске.

В завершение хочется добавить, что, возможно, кому-то удастся открыть новые способы хеджирования или обнаружить иные стороны этого крайне интересного вопроса.

Май 2003

Михаил Глухов

Литература:
1. Кевин Б. Коннолли. Покупка и продажа волатильности. – М.: ИК “Аналитика”, 2001.

О дельта хеджировании проданных опционов January 7th, 2013

Угораздило меня заболеть во время празднования Нового Года. Так что сижу дома--тоска. Внезапно времени стало навалом, поэтому решил написать что-нибудь трейдерское в блог. Долго думал, что именно, решил про хеджирование опционов. Эта тема более или менее обеспечивает примирение двух взаимоисключающих концепций--наличие пользы от статьи для читателя и мое нежелание делиться такими полезными статьями.

Последний год-два-три характеризовались планомерным спаданием волатильности на рынках. Это привело к тому, что многие стратегии продажи опционов в среднем выигрывали за эти годы. В результате этого начала набирать популярность идея продажи опционов. Я иногда просматриваю смарт-лаб--там эта идея часто проскальзывает. А риски предполагается контролировать при помощи дельта хеджирования. Наконец, в эти праздники общался с очень даже успешным трейдером--он высказал мысль типа "если нет идей на рынке--продавай опционы". Я спросил, что делать, если против позиции пойдет--он ответил: нужно хеджировать по дельте. То есть концепция такова, что дельта хеджирование дает эдж само по себе. Эта концепция неправильна, и цель настоящей заметки--обратить на это внимание.

Рассмотрим вначале стратегию продажи голых опционов. Такая стратегия никакого преимущества не имеет. Дело в том, что в первом приближении рынок оценивает опционы так, чтобы в среднем и покупатель и продавец получали ноль. Иными словами, в первом приближении рынок эффективен--и рынок опционов--тоже. Кстати, именно на этом предположении основаны разнообразные теории ценообразования опционов--например, теория Блэка и Шоулса. Здесь следует отметить, что продажа опционов далеко от денег психологически очень комфортна--приятно иметь прибыль в подавляющем числе сделок. Но в среднем эта стратегия дает в лучшем случае ноль (а реально--убыточна, т.к. рынок опционов обычно недооценивает риски очень больших движений БА. На этом стратегии Талеба основаны--но у человека реально крепкие боллз). Поэтому продающий голые опционы OOM долгое время живет в мире иллюзий--после чего следует жесткое падение.

Итак, продажа голого опциона эджа не имеет. Но не имеет его и покупка/продажа базового актива в некоторый момент, связанный с ценой опциона! Фактически, это просто сделка с линейным инструментом (БА), произведенная в момент, определяемый ценой опциона и ценой БА. Такие сделки обычно эджа не имеют. Далее, любое хеджирование опциона--это просто сумма продажи голого опциона и неких сделок с БА. Если каждое слагаемое в сумме эджа не имет, то не будет иметь эджа и сумма. Это следует из того, что среднее суммы равно сумме средних.

Вот собственно и все. Никакого преимущества дельта хеджирование само по себе не дает. А чтобы получить преимущество, надо искать рыночные неэффективности--также, как и для линейных инструментов. Напоследок в качестве рождественского подарка некоторые полезные наблюдения, откуда можно взять эдж при продаже опционов:
1) При резких и быстрых движениях вниз рынок обычно становится трендовым. Это связано с тем, что лонгистов вышибает из рынка, а лонгистов--много. Это значит, что стратегия дельта хеджирования проданных путов имеет эдж просто потому, что эдж имеет трендовая стратегия на БА в такие моменты. В моменты похода опциона в деньги такая стратегия требует предельной концентрации.
2) На долгом бычьем рынке резкие задерги вверх маловероятны. Дело в том, что резкие задерги вверх--это обычно следствие шортокрыла. На бычьем рынке много шорта не накапливается--ибо стопы шортистов ставятся близко и рынок до них быстро доходит. Поэтому происходит плавная переработка бабла шортистов в бабло лонгистов и некому истерить вверх. Поэтому на бычьем рынке продажа коллов OOM имеет эдж. Поскольку хеджировать по дельте в данном случае бессмысленно (нет трендовости), а риск контролировать надо, то продавать надо не голый опцион, а спред.
3) Любые продажи опционов связаны с некислым отвлечением денег. На ФОРТС опцион OOM имеет ГО, сравнимое с ГО базового фьюча. Дельта хеджирование требует ГО, равное ГО базового фьюча. При этом при походе БА против позиции счет уменьшится еще до начала хеджирования за счет вариационной маржи. Хорошей оценкой необходимой для продажи опциона и последующего дельта-хеджирования суммы будет 1-2 ГО базового фьюча.

Динамическое хеджирование - процесс приведения портфеля к состоянию риск-нейтральности. Рынок, как маятник, раскачивает цену опциона, а дельта-хеджирование, как фиксатор, возвращает его в центр (состояние риск-нейтральности).

1. Базовые принципы хеджирования

Торговля на рынке spot против вашей опционной позиции в дельта-эквивалентном размере (хеджирование опционов при помощи базового актива) уравнивает шансы получить прибыль (убыток) при изменении цены базового актива на один пункт. Например, при захеджированной позиции в случае изменения курса spot на незначительную величину вы заработаете на опционе столько же, сколько потеряете на хедже, и наоборот. Другими словами, у вас не будет изменений в стоимости позиции в целом (опцион плюс хедж) при незначительном изменении цены базового актива.

Однако, если цена spot изменится значительно, изменится и дельта опциона, и вам придется корректировать размер хеджа, чтобы сделать позицию дельта-нейтральной.

Процесс корректирования размера хеджа называется динамическим хеджированием . Его цель - уравнять шансы получения прибыли (убытка) в обоих направлениях.

Разберем эту тему на следующих примерах.

Вы полагаете, что курс spot USD/CHF будет в интервале 1,2 500 –1,2700. Вы покупаете опцион 1 млн USD колл с ценой исполнения 1,2600.

Действие 1. Ситуация: курс spot 1,2700, дельта опциона равна 60%.

Что вы можете сделать на рынке spot, чтобы захеджировать свою опционную позицию?

Вы можете продать 0,6 млн USD (1 млн USD × 0,6).

Действие 2. Ситуация: курс spot снижается до 1,2500, а дельта опциона становится 20%.

Что вы можете сделать со своей совокупной (spot+опцион) позицией?

Чтобы захеджировать опцион колл с дельтой 20, вам надо иметь короткую позицию на 0 ,2 млн USD. Поскольку у вас короткая позиция на 0,6 млн USD, вы можете откупить 40% (60% – 20%), или 0,4 млн USD.

Действие 3. Ситуация: те перь курс spot вырастает до 1,2 800, дельта опциона становится 75%.

Что вы можете сделать со своей совокупной (spot + опцион) позицией?

Вы можете продать еще 55% (0,55 млн USD).

В конце дня вы надеетесь, что результаты динамического хеджирования окупят расходы на амортизацию премии, заплаченной за опционы. Чтобы достичь этого, надо принимать во внимание тету. Т.е. ежедневно вы проверяете тету своей позиции и видите, какие изменения должны произойти, чтобы ваша позиция достигла точки окупаемости . Если вы купили опционы, надо с особой осторожностью относиться к выходным: в понедельник стоимость вашего опциона уменьшается на величину, равную трем дневным амортизациям, т.к. между пятницей и понедельником 3 календарных дня.

2. Одинаковое поведение захеджированных опционов пут и Колл в день истечения

Концепция одинакового поведения захеджированных опционов пут и Колл многим не кажется очевидной. Поэтому повторим ее еще раз.

Действие 1 . Если вы купили 1,2850 колл, на хедже вы продали дельта-эквивалент спота. Если же вы купили 1,2850 пут, на хедже вы купили дельта-эквивалент спота. Т.е. на стадии установлении хеджа действия различны.

Действие 2. Если спот идет вверх, дельта колла увеличивается и, чтобы портфель оставался безрисковым, нужно допродать спот. При движении спота вверх дельта пута падает и, чтобы портфель оставался безрисковым, вам… тоже нужно допродать спот.

Действие 3 . В момент исполнения ваши действия не отличаются. колл или пут исполняются только «при деньгах».

Таким образом, в моменты введения и выведения опциона в/из порт­фель(я) его «название» имеет значение. Но во время жизни опциона разница исчезает. Поэтому 80-дельтовый колл и 20-дельтовый пут (например, 1,2200 колл и 1,2200 пут) с одной ценой исполнения и датой истечения будут продаваться по одной волатильности .

Этот пример наглядно демонстрирует концепцию, рассмотренную в приложении к главе 16.

Описанный здесь механизм, называемый динамическим хеджированием, является основой работы маркетмейкеров.

3. Более сложные концепции

Для начала сравним поведение atm straddle со страйком 1,2900 с равными номиналами колл и пут в 1 млн евро (EUR 1 mio a leg), который стоит 40 б.п. (Колл и пут стоят одинаково). Точки окупаемости такой стратегии 1,2900 ± 0,0040. Иными словами, в момент истечения стратегия становится прибыльной, если евро находится ниже 1,2860 или поднимется выше 1,2940. Обратите внимание: это прибыльность в момент истечения!

Во время жизни стратегия может стать прибыльной, если резко вырастет волатильность, даже при неизменном споте. Кроме того, она может быть продана с прибылью, если спот близок к точкам окупаемо­сти. Иными словами, до истечения стратегии прибыль возможна, даже если спот не преодолел точек окупаемости .

Предположим, мы купили atm колл со страйком 1,2900 с номиналом 2 млн евро за 20 б.п. Чтобы захеджировать его, мы продали 1 млн евро по цене 1,2900. Чтобы посчитать точку окупаемости внизу, посмотрим на простое уравнение:

2 000 000 × 0,0002 = 1 000 000 × Х.

Это уравнение ставит вопрос: насколько евро должен двинуться вниз, чтобы хедж компенсировал потерю премии? Ответ: на 40 б.п.

Теперь найдем верхнюю точку окупаемости с помощью уравнения:

2 000 000 × 0,0002 + 1 000 000 × Х = 2 000 000 × Х.

Это уравнение ставит вопрос: насколько евро должен двинуться вверх, чтобы опционная позиция в 2 млн (номинал опциона) компенсировала потерю премии и потерю на 1 млн хеджа? Ответ: на 40 б.п.

Не правда ли, интересно? Результаты двух разных позиций в примере 1 и в примере 2 в момент истечения ведут себя одинаково при разном номинале опционов!

Сопоставление поведения позиций в примерах 1 и 2 показывает, что поведение atm straddle со страйком 1,2900 с равными номиналами колл и пут в 1 млн евро, поведение захеджированного пута со страйком 1,2900 с номиналом 2 млн евро и поведение захеджированного колла со страйком 1,2900 с номиналом 2 млн евро абсолютно одинаковое. Поэтому и временная стоимость этих позиций одинаковая (в условиях свопа = 0).

Теперь попробуем представить себе точки окупаемости обеих стратегий во время жизни опциона. Точка окупаемости будет отклоняться от центра стратегии на величину амортизации премии при неизменной волатильности и разнице в процентных ставках, равной 0. Т.е. если за стратегию заплачено 40 центов и за ночь она потеряла из-за амортизации премии 2 б.п., движение спота к любой из точек окупаемости должно быть достаточным для компенсации амортизации.

Поведение позиции, состоящей из купленного atm пут со страйком 1,2900 с номиналом 2 млн евро за 20 б.п., будет аналогичным.

Перейдем к захеджированным позициям, состоящим из опциона «без денег» и хеджа. Предположим, куплен 1,3000 колл (дельта 30) номиналом 1 млн евро за 15 б.п. и на хедже продано 300 тыс. евро по 1,2900. Нужно рассчитать точки окупаемости.

Для подсчета нижней точки воспользуемся известной нам формулой:

1 000 000 × 0,0015 = 300 000 × Х.

Таким образом, спот должен упасть на 50 б.п., чтобы окупить премию, потраченную на колл. Нижняя точка окупаемости - 1,2850 (1,2900 – 0,0050).

Рассчитаем верхнюю точку окупаемости.

1 000 000 × 0,0015 + 300 000 × (1,3000 – 1,2900 + Х) = 1 000 000 × Х.

Это уравнение ставит вопрос: насколько евро должен двинуться вверх, чтобы позиция в 1 млн евро (номинал опциона) компенсировала потерю премии и потерю на 300 тыс. евро на хедже? Обратите внимание: хедж теряет деньги на всем расстоянии от первоначального уровня до страйка опциона (от 1,2900 до 1,3000). Ответ: на 64 б.п.

Из этого примера видно: стратегии, состоящие из захеджированных опционов «без денег», могут потерять больше, чем затраченная премия, из-за возможных потерь на хедже . В данном примере максимальные потери произойдут, если спот во время истечения закрывается на уровне страйка (1,3000). В этом месте убыток равен 4500 долл. × [(1,3000 – 1,2900)].

Другое важное наблюдение: точки окупаемости данной стратегии не симметричны, как в случае straddle. Верхняя точка отдалена от страйка на 64 б.п., а нижняя отдалена от первоначальной точки хеджирования на 50 б.п., а от страйка на 150 б.п.

Вопросы

I. 1) Покупка опциона колл против короткой позиции на рынке spot хеджирует (защищает) стоимость позиции, когда рынок:

а) растет,

б) стабилен,

в) падает.

2) Покупка опциона пут в дополнение к длинной позиции в spot хеджирует (защищает) стоимость позиции, когда рынок:

а) растет,

б) стабилен,

в) падает.

3) Клиент покупает 1000 акций Apple по 120 долл. Как захеджировать позицию при помощи опционов?

Дилер покупает 500 акций Intel по 100 долл. и 5 опционов Intel Mar $95 пут по 5 долл. (вопросы 4–8).

4) Каков максимальный убыток по всей позиции?

5) Какова прибыль или убыток дилера, когда цена акций Intel падает до 97 долл.?

6) Когда цена акций падает до 93 долл., дилер исполняет опцион пут, поставляя акции. Чему равна его прибыль или убыток?

7) Если цена акций падает до 80 долл. и дилер исполняет опцион пут, поставляя акции, чему равна его прибыль или убыток?

8) Если цена на акции вырастет до 120 долл. и опцион пут останется неиспользованным, а дилер продаст акции, чему будет равна прибыль или убыток от всей позиции?

II. 30 ноября вы купили опцион 1,2400 USD колл на 1 млн с датой истечения 15 марта. Ниже приведены дельты этого опциона на завтра.

9) Если сделка совершена при уровне spot 1,2200, какой хедж необходимо сделать?

10) Курс spot вырос до 1,2700. Какое дельта-корректирование необходимо сделать для позиции?

11) Курс spot снизился до 1,2300. Что вы можете сделать с позицией, чтобы она стала дельта-нейтральной?

III. При торговле однодневными опционами дельта может равняться только 0 и 100% и опцион можно рассматривать как эквивалент позиции в базовом активе. Его можно использовать, например, в качестве заказа stop-loss (чтобы ограничить риск) или в качестве замены позиции в базовом активе (чтобы увеличить риск).

Предположим, курс spot на уровне 1,2200, и вы покупаете однодневный опцион 1,2200 USD колл номиналом 1 млн долл. за 20 pips.

Выполняя следующие упражнения, вам следует тщательно учитывать реализованные и нереализованные прибыли и убытки.

12) Где находится точка окупаемости позиции?

13) Курс spot снизился до 1,2190. Вы только что узнали, что ЕЦБ продает доллар. Что вы сделаете, если динамика spot подтверждает слух? Чему равен ваш максимальный чистый убыток?

14) Вы решили продать только 0,5 млн USD по 1,2190. Где находится точка окупаемости совокупной позиции?

15) Курс spot вырос до 1,2430. Вы продаете оставшиеся 0,5 млн USD. Какая позиция у вас сейчас? Чему равна максимальная прибыль? Каков ваш риск?

16) Как изменится P/L позиции в п. 15, если курс spot вырастет до 1,2600?

17) Как изменится P/L позиции в п. 15, если курс spot упадет до 1,2150?

18) Курс spot снизился с 1,2430 до 1,2390. Какой P/L позиции сейчас?

19) Подытоживая ответы на вопросы 16, 17 и 18, какой синтетической позиции эквивалентна совокупная позиция опцион + spot?

20) Вы полагаете, что курс не опустится намного ниже. Что вы можете сделать с позицией?

21) Курс spot вырос до 1,2450. Что вы можете сделать?

ответы

3) Купить 10 опционов пут на акции Apple с ценой исполнения 120 долл.: длинная позиция spot хеджируется длинным опционом пут.

4) 5000 долл.: 10 долл. на акцию, или 500 × 10 долл. = 5000 долл.

5) Убыток 4000 долл.: убыток 8 долл. на акцию, или 500 × 8 долл. = 4000 долл.

6) Убыток 5000 долл.: убыток 10 долл. на акцию, или 500 × 10 долл. = 5000 долл.

7) Убыток 5000 долл.: убыток 10 долл. на акцию, или 500 × 10 долл. = 5000 долл.

8) Прибыль 7500 долл.: опцион пут остается неисполненным, прибыль 15 долл. на акцию, 500 × 15 = 7500 долл.

9) Продать 380 000 долл.

10) Продать 170 000 долл. (новая дельта равна 55, но вы уже продали до этого 380 000 долл.).

11) Откупить 140 000 долл. (новая дельта равна 41, но у вас продано 550 000 долл.).

12) 1,2220 (1,2200 + 0,0020).

13) Следует продать 1 млн USD по 1,2190. В этой ситуации вы используете опцион как хедж (заказ stop-loss), т.е. уровень закрытия позиции при неблагоприятном развитии рынка. При этом максимальные потери равны 30 pips: если курс spot будет расти, опцион за­кроет короткую позицию по 1,2200 (потеряв 10 pips) плюс к этому вы потеряете 20 pips премии.

14) 1,2250; а) из-за короткой позиции на spot вы потеряете 10 пунктов (пипсов) между 1,2190 и 1,2200; б) говоря иначе, ваша позиция стоит 25 pips (20 pips премия плюс 0,5 × 10 pips потери на spot); в) поскольку при движении вверх ваша дельта-эквивалентная позиция равна 0,5 млн USD (опцион на 1 млн USD и короткая позиция spot на 0,5 млн USD), необходимо изменение цены на 50 pips, чтобы компенсировать 25 pips потерь.

15) Длинная позиция по опциону 1,2200 USD колл и короткая на 1 млн USD (0,5 млн продано по 1,2190 и 0,5 - по 1,2430, т.е. средняя цена продажи 1 млн - 1,2310). Максимальная прибыль при падении курса spot до 0. Поскольку вы зафиксировали 90 pips прибыли [(1,2190 + 1,2430)/2 – (1,2200 + 0,0020)], риска нет.

16) Прибыль не изменится: рост цены опциона будет компенсирован потерями на проданном 1 млн долл.

17) Длинная позиция по опциону 1,2200 USD колл и короткая на 1 млн USD (0,5 млн продано по 1,2190 и 0,5 - по 1,2430, т.е. средняя цена продажи 1 млн - 1,2310). На уровне 1,2150 прибыль составит 140 pips [(1,2190 + 1,2430)/2 – 1,2150 – 0,0020)].

18) 90 pips прибыли, как и в п. 16: [(1,2190 + 1,2430)/2 – (1,2200 + 0,0020)].

19) Длинный колл 1,2200 + короткий spot = длинный пут 1,2200 (плюс P/L = 90 pips).

20) а) Закрыть обе стороны позиции и получить часть оставшейся временной стоимости опциона (если премия больше, чем внутренняя стоимость);

б) продать 1,2200 пут.

21) То же, что в п. 20.

Означает на практике, что если рынок обратится против выпустившего ценные бумаги , то он должен двигаться в том же направлении, что и рынок и таким образом увеличить первоначальное изменение цены. Цены изменяются постоянно, но большого ущерба не возникает, за исключением того, что неустойчивость цен нарастает, что в свою очередь повышает спрос на производные ценные бумаги . Но если динамическое хеджирование производится в огромных масштабах в одном направлении, изменения цен могут быть стать резкими. Это расширяет масштаб финансового дисбаланса. Тот, кто должен воспользоваться динамическим хеджированием , но не может исполнить свои распоряжения, может понести катастрофические убытки.  

На практике портфельные менеджеры используют неагрессивные методы динамического хеджирования , что предполагает отсутствие торговли самими ценными бумагами портфеля . Стоимость портфеля зависит от текущей дельты и модели и регулируется с помощью фьючерсов, а иногда пут-опционов. Плюсом использования фьючерсов является низкая стоимость трансакций. Короткая продажа фьючерсов против портфеля эквивалентна продаже части портфеля. При падении портфеля продается больше фьючерсных контрактов , когда же стоимость портфеля растет, эти короткие позиции закрываются. Потери по портфелю, когда приходится закрывать короткие фьючерсные позиции при росте цен на акции, являются издержками по страхованию портфеля и эквивалентны стоимости гипотетических смоделированных опционов. Преимущество динамического хеджирования состоит в том, что оно позволяет с самого начала точно рассчитать издержки. Менеджерам, применяющим такую стратегию , это позволяет сохранить весь портфель ценных бумаг , в то время как размещение активов регулируется посредством фьючерсов и/или опционов. Предложенный неагрессивный метод, основанный на использовании фьючерсов и/или опционов, позволяет разделить размещение активов и активное управление портфелем . При страховании вы должны постоянно регулировать портфель с учетом текущей дельты, т. е. с определенной периодичностью, например, каждый день вы должны вводить в модель ценообразования опционов текущую стоимость портфеля, время до даты истечения , уровень процентной ставки и волатильность портфеля для определения дельты моделируемого пут-опциона. Если к дельте, которая может принимать значения 0 и -1 прибавить единицу, то вы получите соответствующую дельту колл-опциона , которая будет коэффициентом хеджирования , т.е. долей вашего счета, которую следует инвестировать в фонд. Допустим, коэффициент хеджирования в настоящий момент составляет 0,46. Размер фонда, которым вы управляете, эквивалентен 50 фьючерсным контрактам S P. Так как вы хотите инвестировать только 46% средств, вам надо изъять остальные 54%, т.е. 27 контрактов. Поэтому при текущей стоимости фонда, при данных уровнях процентной ставки и волатильности фонд должен иметь короткие позиции по 27 контрактам S P одновременно с длинной позицией по акциям. Так как необходимо постоянно перерассчитывать дельту и регулировать портфель, метод называется стратегией динамического хеджирования . Одна из проблем, связанная с использованием фьючерсов, состоит в том, что рынок фьючерсов в точности не следует за рынком спот . Кроме того, портфель, против которого вы продаете фьючерсы, может в точности не следовать за индексом рынка спот, лежащего в  

То, что прибыли и убытки менеджеров "В" и "С" одинаковы, не является совпадением, если смотреть на трех игроков с другой точки зрения . Можно предположить существование прямой связи между "Л1 и "С". Менеджер "А" имеет короткую позицию на один опцион, а менеджер "С" имеет длинную позицию на тот же самый опцион. Если бы "А" и "С" совместно управляли фондом, тогда конечным результатом явилось бы то же самое - уровень безубыточности. "А" и "С" имели бы равные и противоположные позиции на один и тот же инструмент, поэтому в итоге фонд был бы полностью нейтральным. Именно этого и пытается добиться менеджер "В". Он старается путем динамического рехеджирования полностью нейтрализовать прибыль или убытки короткой позиции по опциону колл . Менеджер "В" в динамике пытается получить нейтрализующую длинную позицию на опцион колл . Мы можем рассматривать портфель менеджера "В", как в сущности искусственную длинную позицию на опцион колл . Динамическое хеджирование короткого опциона колл в дельта-нейтральном портфеле с высокой степенью точности воспроизводит длинную позицию на опцион колл . И делается это только лишь с помощью акции. Мы видим, что совсем не обязательно наличие торгуемых на бирже опционов - их можно синтезировать путем динамического репродуцирования (dynami repli ation).  

Все хеджи, рассчитанные выше, используются для так называемого дельта-нейтрального (динамического) хеджирования. Они делают вашу позицию дельта-нейтральной ее P/L безразличен к незначительным колебаниям курса spot в любом направлении на уровне текущей цены базового актива. Если произойдет значительное изменение курса spot, вам придется пересчитать размер хеджа, чтобы получить дельта-нейтральную позицию. Подробнее мы обсудим эту тему после изучения параметра гамма.  

Традиционно увеличение премии при увеличении волатильнос-ти объясняют тем, что вероятность заработать на опционе возрастает с увеличением волатильности, т.к. чем выше волатильность, тем выше шанс, что опцион окажется при деньгах в дату истечения . При этом всегда возникает вопрос асимметрии если опцион при деньгах, увеличение волатильности увеличивает шанс потери внутренней стоимости Изучив в главе 17 динамическое хеджирование дельта-нейтральной опционной позиции , вы найдете более логичное объяснение того факта, что увеличение волатильности влечет за собой увеличение премии чем больше волатильность, тем больше владелец опциона зарабатывает на перехеджировании опциона.